1장 피드백 제어의 개요와 간략한 역사, 2장-동적-모델

단순 피드백 시스템

　피드백 시스템에서 온도나 속도와 같은 제어변수는 센서에 의해 측정되고, 측정된 정보는 제어변수에 영향을 주기 위해 피드백된다. 원리는 자동온도조절장치에 의해 제어되는 가정용 난로를 예로 들어 설명할 수 있다. 이 시스템과 상호연결 구성요소는 다음과 같다.

　전력이 공급될 때 자동온도조절장치가 있는 방의 온도와 외부온도가 기준온도(설정값)보다 현저하게 아래에 있다고 가정하자. 자동온도조절장치는 작동하고 있을 것이고 제어논리는 난로 가스밸브를 열어 난로에 불을 붙일 것이다. 만약 난로가 적절히 설계되었다면, 열 입력 $Q_{in}$은 열손실 $Q_{out}$보다 훨씬 크게 되며 자동온도조절장치에 설정된 값을 조금 초과할 때까지 실내온도는 상승하게 되고, 이때 난로가 꺼지게 되므로 실내온도는 외부온도 방향으로 떨어지기 시작한다. 실내온도가 자동온도조절장치 설정온도보다 떨어지면 자동온도조절장치는 재작동되며, 이러한 작동이 반복된다. 이 예로부터 다음과 같은 기본 피드백 제어 시스템의 일반적인 구성요소를 확인할 수 있다.

　이 시스템의 핵심 요소는 제어될 출력변수를 갖는 프로세스(process)이다. 앞의 예에서 프로세스는 실내이고, 출력은 실내온도가 되며, 프로세스에 대한 외란(disturbance)은 벽이나 지붕을 통한 전도에 의해 발생되는, 실내에서부터 낮은 외기온도 쪽으로의 열 흐름이다. 구동기(actuator)는 제어 프로세스의 변수에 영향을 미칠 수 있는 장치인데, 이 경우에는 가스난로가 구동기가 된다. 구동기에서 주된 논점은 적절한 속도와 범위를 가진 프로세스 출력을 낼 수 있느냐이다. 일반적으로 프로세스와 구동기는 직접 연결되어 있고 제어설계는 구동기에 보낼 입력이나 제어신호를 찾는 데 초점을 맞춘다. 프로세스와 구동기의 조합을 플랜트(plant)라 하고, 실제적인 제어신호를 계산하는 구성요소를 제어기(controller)라 한다. 앞의 예에서 나온 자동온도조절장치라고 이름 붙여진 요소는 방 안의 온도를 측정하는 센서(sensor)라고 불리는 장치인데 보통 센서잡음을 포함하고 있다. 센서의 선택과 배치는 제어설계에서 매우 중요하다. 왜냐하면 종종 실제로 제어되는 변수와 센서로 인지된 변수가 서로 달리지기 때문이다. 센세의 위치선정과 더불어 낮은 잡음과 신뢰성 및 선형성뿐만 아니라 측정의 정확성도 센서의 중요한 특성이다. 센서는 일반적으로 물리적인 변수를 제어기에 사용하기 위해 전기적인 신호로 바꾸어 준다. 일반적인 시스템에서는 제어기에 사용하기 위한 기준신호를 전기적인 형태로 바꾸어 주는 역할을 하는 입력필터(input filter)를 포함하고 있다. 몇몇 경우에 입력필터는 기준명령 입력을 조정하여 시스템 응답특성을 향상시킨다. 마지막으로 제어기 입력에서 현재 사용되는 시스템의 오차측정은 기준신호와 센서출력의 차이를 평가하는 제어기(controller)에 의해 이루어진다.

피드백에 대한 첫 번째 분석

　피드백의 중요성은 다음 그리과 같은 자동차의 순항제어와 같이 잘 알려진 시스템에 대한 단순한 모델의 정량적 해석에 의해 쉽게 입증될 수 있다.

　이 상황을 해석적으로 연구하기 위해서는 시스템 모델, 즉 변수들 사이의 일련의 수학적인 관계식이 필요하다. 이 사례에서는 차의 동적 응답을 무시하고 정적 거동만을 고려한다. 또한 시스템에서 사용되는 속도의 범위에서는 관계식들이 선형화된다고 가정한다. 수평 도로에서 65 mph로 가는 자동차의 속도를 츶겅한 후에 10mph의 속도변화가 생길 때 스로틀(throttle) 각(제어변수)이 $1^{\circ}$ 변하는 것을 알았다. 언덕을 오르고 내리는 동안의 기록으로부터 경사도가 1%변화했을 때 속도가 5mph만큼 변함을 알 수 있다. 속도계는 1mph 정도의 정밀도를 가지며 이것은 깨 정확하다고 가정한다. 이러한 관계들로부터 플랜트의 블록선도(block diagram)을 다음과 같이 그릴 수 있으며 수학적인 관계를 그래프 형태로 보여 준다.

　이 선도에서 연결선은 신호를 운반하고 블록은 블록에 표시된 값에 의해 입력신호를 증폭시켜서 출력신호를 내보내는 이상적인 증폭기와 같다. 두 개 이상의 신호를 합산하기 위해 원 안에 $\sum$가 내재된 합산기(summer)로 신호선들을 연결한다. 각각의 화살표 머리 옆에 위치한 대수표시($+, -$)는 합산기에서 입력값을 더하거나 전체 출력에서 빼는 것을 나타낸다. 제어기에 피드백이 되는 상태와 되지 않는 상태에서 기준속도가 65로 고정되었을 때 경사도가 1%변함에 따라 나타나는 효과를 비교해 보자.

　개루프라고 부르는 첫 번째의 경우에 제어기는 속도측정기의 측정값을 사용하지 않고 위 그림에 나와 있는 바와 같이 $u = r/10$으로 고정시킨다. 이것은 개루프 제어 시스템(Open-loop control system)의 한 예이다. 간단한 예로서 개루프 출력속도 $y_{ol}$는 다음과 같은 식들에 의해 주어진다.

$y_{ol} = 10(u - 0.5w) = 10(\frac{r}{10} - 0.5w) = r - 5w$

　출력속도에서의 오차는 $e_{ol} = r - y_{ol} = 5w$이다. 이 예는 $w=0$일 때 오차가 나타나지 않음을 보여준다.
　피드백 기구의 블록선도는 다음과 같다.

　이 제어기의 게인값은 10으로 맞추어져 있고, 이 간단한 예에서 블록에서는 드러나지 않는 이상적인 센서를 가지고 있다고 가정한다. 이 경우에 식은 다음과 같다.

$y_{cl} = 10u - 5w, u = 10(r - y_{cl})$

　이것을 조합하면 다음과 같이 된다.

$y_{cl} = \frac{100}{101}r - \frac{5}{101}w, e_{cl} = \frac{r}{101} + \frac{5w}{101}$

　따라서 피드백은 개루프 시스템과 비교해 볼 때 101분의 1 정도까지 속도 오차의 민감도를 줄여 준다. 그러나 $w=0$이 되는 수평 도로에서도 작은 오차는 존재한다. 이 오차는 루프게인이 큰 상태로 있는 한 작은 상태로 유지될 것이다.
　이 예에서 경사도 외란이나 플랜트 게인에 대한 속도민감성의 커다란 감소는 피드백에서의 100이라는 비교적 큰 게인에 기인한다. 불행히도 이 게인을 얼마나 높이 설정할 수 있는가에 대한 한계가 존재한다. 동적인 것들을 고려할 때 피드백은 전보다 응답이 나빠질 수 있고, 심지어 시스템을 불안하게 할 수도 있다. 이런 어려움운 피드백 게인을 쉽게 변화시킬 수 있는 잘 알려진 다른 상황에서 볼 수 있다. 시스템이 불안정해지지 않게 하고 오차를 감소시킬 수 있도록 가능한 큰 게인값을 얻는 방벙에 대한 논제가 피드백 제어설계 그 자체인 것이다.

제어 시스템 분석을 위한 방법

복소수 개념

　복소수는 직교좌표계에서 $z = x + jy$와 같이 표현된다. 여기서 $j = \sqrt{-1}$ 이고 $(x,y)$ 는 각각 $z$의 실수와 허수 계수이다.

　위 그림에서 $x = R\cos\theta, y = R\sin\theta$이고 $R = \sqrt{x^2 + y^2}, \theta = \tan^{-1}\frac{y}{x}$이다.
　위 식을 통해 $z = R\cos\theta + jR\sin\theta$임을 알수 있고 Euler formula를 통해 $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$를 확인할 수 있다. 　결과적으로 $z = Re^{j\theta}$이고 $z$의 켤레 복소수는 $z^* = R\cos\theta - jR\sin\theta = Re^{-j\theta}$이다. ($zz^* = R^2 = x^2 + y^2$)

동적 모델

　다음 간단한 순항제어 모델을 보자.

　위 시스템의 자유물체도는 다음과 같다.

　위 시스템의 계단입력 $u$에서의 자동차 속도응답은 다음과 같다.

　다음은 자동차 현가 시스템이다.

하나의 바퀴 위에 자동차 한 대 질량의 $1/4$이 있는 1차원 수직 운동을 가정하여 차와 바퀴의 운동방정식을 구해보자. 네 개의 현가장치 중 한개로 이루어진 시스템을 1/4-자동차 모델(quarter-car model)이라 부른다. 위 시스템을 다음과 같이 간략화된 시스템으로 근사화할 수 있다.

다음은 각 질량의 자유물체도이다.