6장 주파수응답 설계법

Updated: December 17, 2023

　산업현장에서는 다른 어떤 방법보다 주파수응답법을 이용하여 피드백 제어 시스템 설계가 이루어지고 있다. 보편적으로 주파수응답 설계가 사용되고 있는 근본적인 이유는 플랜트 모형의 불확실성에 직면하게 될 경우 좋은 설계가 얻어지기 때문이다. 또한 설계목적에 맞추어 실험 정보를 쉽게 이용할 수 있고, 일반적으로 제어시스템의 특성이 시스템의 주파수응답 특성으로 주어진다는 것이다.

주파수 응답

　시스템의 주파수응답(frequency response)이라고 불리는 정현파 입력(sinusoidal input)에 대한 선형 시스템의 응답을 시스템의 극점과 영점의 위치에 관한 정보로부터 얻을 수 있다.
　시스템 $Y(s)=G(s)U(s)$에서 입력 $u(t)=A\sin(\omega_o t) 1(t)$인 진폭 A인 정형파이고, Laplace변환식은 $U(s)=\frac{A\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$이므로 초기조건이 0인 경우 출력의 Laplace 변환식은 $Y(s)=G(s)\frac{A\omega_0}{s^2 + \omega_0^2}$이다. 이 식을 부분분수 전개하면 다음과 같은 형태의 식을 얻을 수 있다.

　여기서 $p_1, p_2, \cdots, p_n$은 $G(s)$의 극점, $\alpha_0$는 부분분수 전개를 수행함으로써 구할 수 있으며, $\alpha_0^*$는 $\alpha_0$의 복소공액수이다. $Y(s)$에 대한 시간응답은 다음과 같다.

　여기서 $\phi = \tan^{-1} [\frac{\mathrm{Im}(\alpha_0)}{\mathrm{Re}(\alpha_0)}]$이다. 시스템의 모든 극점이 안정한 역할($p_1, p_2, \cdots, p_n$의 실수부 $<0$)을 나타낸다면, 고유 비강제 응담은 언젠가는 소멸되므로 시스템의 정상상태 응답은 정형파를 가짐으로써 정현파만 남게된다. 이 정형파는 다음과 같이 쓸 수 있다.

　예를들어, 입력 $u=\sin10t$에 대한 시스템 $G(s)=\frac{1}{s + 1}$의 응답은 다음과 같다.

　이것은 $G(s)$와 관련된 응답의 고유부분인 $e^{-t}$가 시상수의 몇 배 되는 시간이 지나면 사라지고 결국 순수한 정현파 응답만 남게 됨을 보여준다. 　$y(t)=AM\cos(w_0t + \phi)$에서 $M=|G(j\omega_0)|=\sqrt{ {\mathrm{Re}[G(j\omega_0)]}^2 + {\mathrm{Im}[G(j\omega_0)]}^2}$, $\phi = \tan^{-1}[\frac{\mathrm{Im}[G(j\omega_0)]}{\mathrm{Re}[G(j\omega_0)]}] = \angle G(j\omega_0)$ 이고 극 좌표 형태로 $G(j\omega_0)=Me^{j\phi}$이다.
　주파수응답을 해석하는 데 관심을 갖는 이유는, 정현파 입력에 대해 시스템이 어떻게 응답하는지를 이해하는 데 도움을 줄 뿐만 아니라, $j\omega$축상에서 취한 $s$값을 가지고 $G(s)$를 평가하면 폐루프 시스템의 안정도를 판정하는 데에도 매우 유용하기 때문이다. 3장에서 보았듯이 $j\omega$축은 안정도와 불안정도 사시의 경계이다. $G(j\omega)$를 평가하여 개루프 $G(s)로부터 폐루프의 안정도를 판정할 수 있는 정보를 얻을 수 있다. 다음 예를 보자.

　해석적 평가에서 매우 낮은 주파수에서는 진폭이 바로 $|K|$이고 매우 높은 주파수에서는 진폭이 $|\frac{K}{\alpha}|$이다. 그러므로 진폭은 주파수의 함수로서 증가한다. 위상은 매우 낮은 주파수에서 0이고 매우 높은 주파수에서 다시 0으로 접근한다. 그 중간에서 $\tan^{-1}$함수를 평가보면 $\phi$는 양이 된다. 다음은 주파수응답의 크기와 위상 선도이다.

　저주파의 크기는 $K(=1)$이고 고주파의 크기는 $K/\alpha(=10)$이라는 것을 해석적으로 알 수 있으며, 크기선도에 의해 입증된다. 또한 위상선도로부터 고주파와 저주파에서 0으로 접근하고 중간 주파수에서는 양의 값을 갖는다는 것을 알 수 있다.
　시스템에 대해 좋은 모형을 갖고 있지 못하고 실험적으로 주파수응답의 크기와 위상을 구하고자 하는 경우에는 주파수가 변하는 정현파를 가지고 시스템을 여기시킬 수 있다. 크기 $M(\omega)$는 각 주파수에서 정상상태에서의 입력 정현파에 대한 출력 정현파의 비를 측정함으로써 얻어진다. 위상 $\phi(\omega)$는 입력과 출력 신호 사이의 측정된 위상차이다.
　시스템 전달함수의 크기 $M(\omega)$와 위상 $\phi(\omega)$를 알게 되면 시스템의 동적 응답에 관해서도 많은 것을 알 수 있다. 다음은 과도응답 특성에 대응하는 주파수응답 특성을 알 수 있도록 같은 $\zeta$값에 대한 $M(\omega)$과 $\psi(\omega)$가 그려져 있다.

　특히 다음과 같은 그림과 위 그림은 시스템 시간응답에서의 감쇠 효과와 주파수응답에서의 대응하는 효과를 나타낸다.

　시스템 감쇠는 과도응답 오버슈트나 주파수응답의 크기선도(a)의 최대값으로부터 알아낼 수 있다. 더욱이 주파수응답으로부터 $\omega_n$이 근사적으로 대역폭과 같다는 것을 알 수 있다. 이 주파수는 저주파수 값에서부터 크기가 떨어지기 시작하는 주파수이다. 그러므로 상승시간은 대역폭에 의해 추정될 수 있다. 또한 주파수응답에서의 최대 오버슈트는 $\zeta < 0.5$일 때 대략 $1/2\zeta$이라는 것도 알 수 있다. 그래서 계단응답에서의 최대 오버슈트는 주파수응답에서의 최대 오버슈트로부터 추정된다. 따라서 근본적으로 과도응답 곡선에서 알 수 있는 것과 같은 정보가 주파수응답 곡선에도 포함될 수 있다는 것을 알 수 있다.

　주파수응답에서 시스템 성능을 나타내기 위해 통상적으로 사용되는 규격은 대역폭(bandwidth)이다. 이는 시스템 출력이 정현파 입력을 만족스럽게 추적하는 최대 주파수로 정의된다. 관례상 다음과 같은 그림에 표시된 정현파 입력 $r$을 갖는 시스템에 대해서 대역폭은 출력 $y$가 입력의 0.707배로 되는 $r$의 주파수이다.

　다음 그림은 폐루프 전달함수의 주파수응답에 대해 이 개념을 도해적으로 나타낸 것이다.

　이 선도는 낮은 여기주파수(excitation frequency)에서는 출력이 입력을 추종하고($|T|\cong1$), 높은 여기주파수에서는 출력이 입력을 추종하지 않는($|T|<1$) 대부분의 폐루프 시스템의 전형적인 형태를 나타내고 있다. 주파수응답 크기에서 최대값을 공진최대크기(resonant peak)$M_r$이라고 한다.
　대역폭은 응답속도에 관한 척도이다. 그러므로 대역폭은 상승시간과 최대 오버슈트 시간 같은 시간영역 척도 또는 지배적인 근의 고유주파수에 관한 s-평면 척도와 비슷하다.

Bode 선도 기법

　Bode 방법에서의 기본 생각은 대수 스케일(scale)을 사용하여 크기곡선을 그리고 선형 스케일을 사용하여 위상곡선을 그리는 것이다. 이 방법을 사용하면 고차의 $G(j\omega)$에 대한 선도에 단순히 분할된 항들을 도해적으로 더함으로써 그릴 수 있다. 이것은 영점과 극점 인자들을 갖는 복소수식이 다음과 같은 극좌표 형태로 표현될 수 있기 때문이다.

　각 개별항들의 위상들을 직접 더하여 합성된(composite) 수식 $G(j\omega)$의 위상을 구할 수 있다는 것을 위 식으로부터 알 수 있다. 또한 식 $|G(j\omega)|=\frac{r_1r_2}{r_3r_4r_5}$이 성립하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

　각 개별항들의 대수값의 합이 합성된 수식의 크기의 대수값이 된다는 것을 알 수 있다. 통신공학에서는 위와같이 전력게인을 데시벨(db)로 계측하는 것이 일반적이다.($\vert G\vert_{db} = 10 \log_{10}\frac{P_2}{P_1} = 20\log_{10}\frac{V_2}{V_1}$)

Bode 선도로 표현된 주파수응답을 가지고 작업할 때의 장점

전적으로 Bode 선도에 기반을 두고 동특성 보상기 설계가 이루어질 수 있다.
Bode 선도를 실험적으로 구할 수 있다.
직렬 형태로 있는 시스템들의 Bode 선도를 단순하게 더하므로 매우 편리하다.
대수 스케일을 사용하므로 선형 스케일보다 매우 넓은 범위의 주파수를 단 한 개의 선도상에 나타낼 수 있다.

　5장에서 개루프 전달함수를 다음과 같은 형태로 표현했다.

　왜냐하면 이것은 게인 $K$에 대한 근궤적으로부터 안정도의 정도를 판정하기 위한 가장 편리한 형태였기 때문이다. 주파수응답을 가지고 작업하는 경우에는 $s$를 $j\omega$로 대체하고 전달함수를 다음과 같은 Bode 형태(Bode form)로 표현하는 것이 좀 더 편리하다.

　왜냐하면 이 형태에서 게인 $K_0$는 매우 낮은 주파수에서의 전달함수 크기와 직접적으로 관련이 있기 때문이다. 위 식들에서 $K$와 $K_0$는 일반적으로 같은 값을 갖지는 않는다.
　전달함수들은 또한 다시 고쳐 쓸 수 있다. 한 예로서 다음 식을 가정한다.

　지금까지 언급된 시스템 종류에 따른 모든 전달함수들은 다음과 같이 세 가지 형태의 항으로 구성된다.

　우선 각 개별항에 대한 선도에 대해 알아보고, 각 항들이 모든 항들을 포함하는 합성선도에 어떻게 영향을 주는지 알아본다. 그리고 합성곡선을 그리는 방법에 대해 알아본다.

Class 1: 원점에서의 특이성, $K_0(j\omega)^n$
　식 $\log K_0\vert(j\omega)^n\vert = \log K_0 + n \log\vert j\omega\vert$이 성립하므로 이 항의 크기선도는 기울기 $n \times (20 \mathrm{db/decade})$인 직선이다. 여러 $n$값에 대한 예들이 다음과 같이 표시되어 있다.

　$K_0(j\omega)^n$은 최저 주파수에서의 기울기에 영향을 주는 유일한 항이다. 왜냐하면 다른 항들은 이 영역에서 일정하기 때문이다. 선도를 그리는 가장 쉬운 방법은 $\omega = 1$을 정의하고, 이 주파수에서 $\log K_0$를 그리는 것이다. 그런 다음 이 점을 통과하는 기울기 $n$인 직선을 그린다. $(j\omega)^n$의 위상은 $\phi = n \times 90^{\circ}$이다. 이것은 주파수와 무관하므로 수평선이 된다.

Class 2: 1차항, $(j\omega \tau + 1)$
　이 항의 크기는 매우 낮은 주파수에서 한 점근선에 접근하고 매우 높은 주파수에서 또 다른 점근선으로 접근한다.

　$\omega=1/\tau$를 절점(break point)이라고 하며 절점 아래에서는 크기곡선이 대략 1로 일정하다. 반면에 절점 위에서의 크기곡선은 Class 1항인 $K_0(j\omega)$과 비슷한 특성을 갖는다. 다음은 $G(s)=10s + 1$의 예를 보여준다.

　위 선도에서 두 점근선이 절점을 교차하고 있고 실제 크기곡선은 1.4(또는 $+3\mathrm{db}$)배 되어 절점 위에 놓여 있다. 이 항은 절점 아래에서의 합성 크기곡선에 단지 약간의 영향만 줄 것이다. 왜냐하면 이 값은 이 영역에서 1($= 0\mathrm{db}$)이기 때문이다. 고주파에서 기울기는 +1(또는 $+20\mathrm{db/decade}$)이다. 위상 곡선도 역시 저주파와 고주파 점근선을 이용하여 쉽게 그릴 수 있다.

　다음 그림에 표시된 바와 같이, $\omega\tau \cong 1$일 때 위상곡선 $\angle (j\omega + 1)$은 $\omega \tau =0.2$에서 $0^{\circ}$이고, $\omega \tau = 5$에서 $90^{\circ}$가 되는 점근선에 접한다.

　이 그림은 또한 위상선도를 도시하기 위해 사용되는 세 개의 점근선(점선)들과 어떻게 실제 곡선이 점근선들의 교점에서 점근선으로부터 $11^{\circ}$의 편차를 나타내는지를 보여 준다. 합성 위상곡선과 합성 크기곡선은 절점의 $1/10$정도의 주파수 이하에서는 크기가 1(또는 0db)이고 위상은 $5^{\circ}$보다 작다.

Class 3: 2차항, $(j\omega/\omega_n)^2 + 2\zeta(j\omega/\omega_n) + 1$
　절점은 $\omega = \omega_n$에 있다. 크기는 절점에서 +2(40db/decade)의 기울기를 가지고 변한다.(이 항이 분모에 있는 경우에는 -2(-20db/decade)) 위상은 $\pm 180^{\circ}$까지 변하고, 절점 영역을 통과하는 과도기는 감쇠비 $\zeta$에 따라 변한다. 다음은 이 항이 분모에 있을 때 몇 가지의 다른 감쇠비에 대한 크기선도와 위상선도를 보여준다.

　절점보다 큰 주파수에서의 크기 점근선은 -2(-40db/decade)의 기울기를 가지고, 절점 영역을 통과하는 과도기는 감쇠비에 따라 크게 영향을 받는다. 이 항이 분자에 있으면 크기선도는 위 크기 곡선의 역이 된다. 분모에 2차항이 있는 시스템의 경우, 다음식을 이용하여 과도기를 개략적으로 도시할 수 있다.

　위상곡선에 대한 과도기를 개략적으로 그릴 수 있는 식은 위와 같은 간단한 규칙이 존재하지 않는다. 그러므로 위상을 정확하게 그리기 위해서는 위 곡선의 (b)를 이용해야만 한다. 그렇지만 $\zeta=0$일 때 과도기는 계단함수이고, 한편 같은 절점주파수들을 갖고 $\zeta=1$일 때는 두 개의 1차항(Class 2)에 대한 규칙성이 성립되므로 이를 이용하여 과도기에 대한 매우 개략적인 선도를 얻을 수 있다. 중간의 모든 $\zeta$값에 대한 곡선은 이 두 극한값에 대한 곡선 사이에 존재한다. 2차항의 위상은 항상 $\omega_n$에서 $\pm 90^{\circ}$이다.

합성곡선(Composite Curve)
　극점과 영점을 여러 개 포함한 시스템일 경우에 주파수응답 곡선을 그리기 위해서는 각 성분에 대한 곡선을 합성곡선으로 결합해야 한다. 합성 크기곡선을 기리기 위해 점근선의 기울기가 개별적인 각 곡선의 기울기의 합과 같다는 것에 주목해야 한다. 그러므로 합성 점근선은 각 절점주파수에서 정수의 기울기 변화를 갖는다.

분자에 있는 1차항에 대해서는 +1
분모에 있는 1차항에 대해서는 -1
2차항에 대해서는 $\pm 2$이다.

　더욱이 점근선의 최저 주파수 부분은 $(j\omega)^n$항에서의 $n$값에 의해 정해지는 기울기를 가지며 $\omega=1$에서 $K_0\omega^n$점을 표시함으로써 위치가 정해진다. 그러므로 완전한 절차는 점근선의 최저 주파수 부분의 그림으로 구성되고, 연속적으로 주파수가 증가하는 방향으로 각 절점에서 점근선의 기울기를 변화시킨다.
　합성 위상곡선은 개별적인 각 위상곡선의 합이다. 개별적인 위상곡선들의 도해적 덧셈은 합성 위상곡선이 개별적인 각 곡선에 가능한 개략적으로 그리기 위해서는 최저 절점 아래의 위상곡선부터 출발하고 이때의 위상을 $n \times 90^{\circ}$로 설정함으로써 이루어질 수 있다. 주파수가 증가함에 따라 위상은 각 절점에서 계단을 이룬다. 위상계단의 크기는 1차항에 대해서는 $\pm90^{\circ}$이고, 2차항에 대해서는 $\pm 180^{\circ}$이다. 분자에 있는 절점들은 양의 위상계단을 나태내고, 분모에 있는 절점들은 음의 위상계단을 나타낸다.
　지금까지 선도를 그리는 규칙들은 단지 LHP에 있는 극점과 영점에 대해서만 고려했다. 이제 예제를 보자.

$j\omega$항은 1차이며 분모에 있으므로 $n=-1$이다. 그러므로 저주파 점근선은 첫 번째 항 $KG(j\omega)=\frac{2}{j\omega}$에 의해 정의된다. $\omega = 1$에서 $K_0$점을 지나고 기울기 $n$($n\times20$db/decade)인 저주파영역의 크기 점근선을 그린다.
나머지 점근선들을 구한다.
- 첫 번째 절점은 $\omega=0.5$에 있고 이것은 분자에 있는 1차항이다. 그래서 $+1$의 기울기 변화를 갖는다.
  - 그러므로 원래의 $-1$의 기울기와 교차하는 기울기 $0$인 직선을 그린다.
- $\omega=10$에서 앞의 직선과 교차하는 기울기 $-1$인 직선을 그린다.
- $\omega=50$에서 앞의 기울기 $-1$인 직선과 교차하는 기울기 $-2$인 직선을 그린다.
절점 $\omega=0.5$에서는 점근선 위로 1.4($+3$db), 그리고 절점 $\omega = 10$과 $\omega=50$에서는 점근선 아래로 0.7($-3$db) 떨어지도록 하고 실제 곡선이 개략적으로 점근선에 접하도록 실제 곡선을 그린다.
$2/j\omega$의 위상이 $-90^{\circ}$이므로 위상곡선은 최저 주파수에서 $-90^{\circ}$에서 출발한다.
주파수가 증가되는 순서로 각 절점에서 위상을 $\pm 90^{\circ}$ 또는 $\pm 180^{\circ}$로 변화시킴으로써 근사 위성곡선을 그린다.
- 분자에 있는 1차항들에 대해서는 위상변화가 $+90^{\circ}$이고, 분모에 있는 1차항에 대해서는 위상변화가 $-90^{\circ}$이다.
- 2차항에 대해서는 위상변화가 $\pm180^{\circ}$이다.
위 위상선도에 점선으로 표시된 개별적인 위상곡선들은 각 항에 대한 정확한 위상변화를 나타내고 있으며 수직으로 나열되어 있다. 그래서 위상곡선들의 위상변화는 다음과 같이 근사곡선에서의 계단형 위상과 대응한다. 합성곡선들이 개별적인 각 항에 접근한다는 것을 알 수 있다.

　다른 예를 보자.

$j\omega$항은 1차이며 분모에 있으므로 $n=-1$이다. 그러므로 저주파 점근선은 첫 번째 항 $KG(j\omega)=\frac{10/4}{j\omega}$에 의해 정의된다. $\omega = 1$에서 $K_0$점을 지나고 기울기 $n$($n\times20$db/decade)인 저주파영역의 크기 점근선을 그린다.
나머지 점근선들을 구한다.
- 2차 극점에 대해서 $\omega_n = 2$이고 $\zeta=0.1$이다. 그래서 $\omega=2$에 있는 극점의 절점주파수에서는 기울기가 $-3$으로 바뀐다.
극점에 대한 절점에서는 점근선 위로 크기비가 $1/2 \zeta = 1/0.2 = 5$이다.
위상곡선은 $\phi=-90^{\circ}$부터 출발한다.
$\omega=2$에서 극점에 의해 위상변화가 $-180^{\circ}$이다.

　다음 예를 보자.

비최소위상 시스템
　RHP에 영점이 있는 시스템은 0과 무한대 사이의 주파수 입력에 대해 평가해 보면 위상에서 순수한 변화가 일어나며, 이것은 어떤 같은 크기선도에서 모든 영점과 극점이 LHP에 있을 때보다 크다. 이런 시스템을 비최소위상(nonminimum phase)이라고 한다. 만약 영점이 RHP에 있다면 LHP 영점에 의해 발생하는 일반적인 위상의 증가를 보여주는 대신 위상이 영점에 의한 절점에서 감소한다. 다음과 같은 전달함수들을 고려해 본다.

　두 전달함수는 다음과 같이 모든 주파수에서 같은 크기를 갖는다.($\vert G_1(j\omega) \vert = \vert G_2(j\omega) \vert$)

　그러나 두 전달함수의 위상은 매우 다르다.

　주어진 크기선도를 갖는 (모든 영점이 LHP에 있는) 최소위상 시스템은 비최소위상 시스템 $G_2$의 위상변화에 비해 $G_1$의 위상에 가장 작은 순 변화를 가져다준다. 위상변와에 관한 $G_1$과 $G_2$사이의 불일치는 RHP에 두 개 이상의 플랜트 영점이 있으면 더욱 커진다.

정상상태 오차

　4장에서 배운 정상상태 오차의 내용은 다음과 같다.

　피드백 시스템의 정상상태 오차는 개루프 전달함수의 게인이 커짐에 따라 감소한다. 합성 크기곡선을 그릴 떄 매우 낮은 주파수에서 개루프 전달함수가 다음의 식에 의해 근사화된다.

　그러므로 저주파 점근선에서의 크기의 값이 크면 클수록 폐루프 시스템에서 정상상태 오차는 더욱 작아진다는 결론을 내릴 수 있다. 이 관계는 보상 설계에서 매우 유용하다.
　$n=0$인 시스템(0형 시스템)에 대해 저주파 점근선은 일정하고 개루프 시스템의 게인 $K_0$는 위치오차상수 $K_p$와 같다. 단위계단입력을 갖는 단위 피드백 시스템의 경우, 최종값 정리가 정상상태 오차가 $e_{ss}=\frac{1}{1 + K_p}$로 되는 것을 보이기 위해 사용되었다.
　$n=-1$인 단위 피드백 시스템에서 저주파 점근선은 $-1$의 기울기를 갖는다. 저주파 점근선의 크기는 게인과 관련이 있다. 그러므로 Bode 크기선도에서 게인 $K_0/\omega$를 직접 읽을 수 있다. 속도오차상수 $K_v=K_0$이며 여기서 단위 경사입력을 갖는 단위 피드백 시스템의 경우, 정상상태 오차는 $e_{ss} = \frac{1}{K_v}$와 같다.
　1형 시스템에서 $K_v$의 값을 구하는 가장 쉬운 방법은 $\omega=1\mathrm{rad/sec}$에 있는 저주파 점근선의 크기를 읽는 것이다. 왜냐하면 이 점근선은 $A(\omega)=K_v/\omega$이기 때문이다.

중립안정도

　폐루프 전달함수는 보통 모르고 있다. 사실 근궤적법 이해의 이면에 있는 목적은 개루프 전달함수만이 주어진 상태에서 폐루프 전달함수에서 분모의 인수들을 찾는 것이다. 폐루프 안정도를 판정하는 또 다른 방법은 개루프 전달함수 $KG(j\omega)$의 주파수응답을 평가한 다음 이 응답에 관한 시험을 수행하는 것이다. 이 방법은 폐루프 전달함수의 분모를 인수로 표시할 필요가 없다.
　다음 시스템을 가정한다.

　이 시스템의 root-locus는 다음과 같다.

　$K$값이 2보다 커지면 시스템이 불안정하게 된다. 중립안정점은 허수축상에 놓인다. 즉, $K=2$이고, $s=j$이다. 중립안정점에서는 이 근궤적들이 성립한다는 것을 알 수 있다.

　그래서 중립안정(즉, 폐루프 근이 허수축상에 있게 하는 $K$를 갖는) 시스템의 Bode 선도는 위 식의 조건들을 만족할 것이다. 다음 그림은 여러 $K$에 대해 근궤적으로 표시된 시스템에 대한 주파수응답을 나타낸다.

　$K=2$일 때의 크기응답은 위상이 $180^{\circ}$를 통과하는 주파수($\omega = 1\mathrm{rad/sec}$)에서 1을 지난다.
　중립안정점이 정해졌으므로 게인의 증가가 시스템의 안정도를 증가시키는지 또는 감소시키는지 알아본다. 근궤적으로부터 어떤 $K$의 값이 중립안정점에서의 값보다 작으면 안정한 시스템이 된다는 것을 알 수 있다. 위상 $\angle G(j\omega)=-180^{\circ}$인 주파수 $\omega$(=1rad/sec)에서, 크기 $\vert KG(j\omega) \vert$는 안정한 $K$값에 대해서는 1보다 작고 불안정한 $K$값에 대해서는 1보다 크다. 그러므로 개루프 주파수응답 특성에 기반을 둔 다음과 같은 안정도 조건을 나타낼 수 있다.

　이 안정도 판별법은 가장 일반적인 상황, 즉 게인이 증가함에 따라 불안정하게 되고 $\vert KG(j\omega) \vert$가 크기 1을 한 번 지나는 모든 시스템에 적용된다. 그렇지만 게인이 증가함에 따라 불안정에서 안정으로 되는 시스템도 있다. 이 경우에는 안정도 조건이 다음과 같다.

　또한 $\vert KG(j\omega) \vert$가 크기 1을 한 번 이상 지나는 경우도 있다. 애매함을 해결하기 위한 한 방법은 보통 근궤적을 개략적으로 그리는 것으로 충분하다.

안정도 여유

　게인 여유(GM, gain margin)는 불안정한 결과를 얻기 직전까지 게인을 크게 할 수 있는 정도를 나타내는 요소이다. 일반적인 경우 이것은 $\angle G(j\omega)=-180^{\circ}$인 주파수에서 $\vert KG(j\omega) \vert$ 곡선과 $\vert KG(j\omega) \vert = 1$인 직선 사이의 수직 거리를 측정함으로써 Bode 선도로부터 직접 읽을 수 있다.

　위 선도에서 $K=0.1$ 일 때 시스템이 안정하고 $\mathrm{GM}=20$(26db)라는 것을 그림으로부터 알 수 있다. $K=2$일 때 시스템은 $\mathrm{GM}=1$(0db)인 중립적 안정에 있다. 하지만 $K=10$이 되면 $\mathrm{GM}=0.2$(-1.4db)로 불안정한 시스템이 된다.
　시스템에서 안정도 여유를 나타내는 데 사용되는 또 다른 척도는 위상여유(PM, phase margin)이다. 이것은 $\vert KG(j\omega) \vert = 1$일 때 $G(j\omega)$의 위상이 $-180^{\circ}$를 초과할 때까지의 크기이다. 이것은 다음과 같은 안정도 조건을 만족하는 정도를 측정하는 또 하나의 방법이다.

　$K=0.1$일 때 $\mathrm{PM} \cong 80^{\circ}$이고, $K=2$일 때 $\mathrm{PM} \cong 0^{\circ}$이고, $K=10$일 때 $\mathrm{PM} = -35^{\circ}$라는 것을 알 수 있다. 안정도를 위해서는 양의 PM이 요구된다.
　교차주파수(crossover frequenct, $\omega_c$)라는 용어는 게인이 1또는 0db일 때의 주파수를 언급하기 위해 사용된다.
　주파수응답 설계의 유용한 측면 중 하나는 게인 변화의 효과를 쉽게 평가할 수 있다는 것이다. 사실 어떤 $K$값에 대해서도 크기 또는 위상 정보를 다시 그리지 않고 PM을 알 수 있다. 선정된 $K$값에 대해서 $\vert KG(j\omega) \vert = 1$인 곳을 그림위에 표시하기만 하면 된다.

　$K=5$일 때 $-22^{\circ}$의 불안정한 PM을 갖지만, $K=0.5$일 때는 $+45^{\circ}$의 PM을 갖는다는 것을 알 수 있다. 더욱이 어떤 PM(예를 들어 70^{\circ})을 원한다면 그 바람직한 PM을 만드는 주파수에 대응하는 $\vert KG(j\omega) \vert$의 값을 단순히 읽으면 된다.(여기서 $\omega=0.2\mathrm{rad/sec}$이면 $70^{\circ}$가 되고, 이때 $\vert KG(j\omega) \vert = 5$이다.) 그리고 이 주파수에서의 크기는 $1/K$이다. 그러므로 $70^{\circ}$의 PM은 $K=0.2$일 때 성취된다.
　PM은 시스템의 감쇠비와 매우 밀접한 관계가 있기 때문에 매우 일반적으로 제어 시스템의 성능을 명시하는 데 사용된다. 다음과 같은 개루프 2차 시스템에 대해 이것을 쉽게 보일 수 있다.

　단위 피드백을 갖는 경우 이 시스템은 다음과 같은 폐루프 시스템을 만든다.

　이 시스템에서 PM과 $\zeta$사이의 관계식이 다음과 같이 됨을 보일 수 있다.

　이 함수는 다음과 같이 표시되어 있다.

　이 함수는 $\mathrm{PM} = 60^{\circ}$ 정도까지는 대략적으로 직선이 됨을 알 수 있다. 점선은 이 함수에 대한 직선근사를 나타내며, 여기서 $\zeta \cong \frac{\mathrm{PM}}{100}$이다. 이 근사는 PM이 약 $70^{\circ}$이하에서만 성립되는 것이 분명하다.
　PM에 기초하여 제어 시스템을 평가하는 데 도움을 줄 수 있는 부가적인 데이터가 $M_r$과 $\zeta$사이의 관계로부터 유도될 수 있다.

　여기서 영점을 가지지 않는 2차 시스템의 폐루프 계단응답에 대한 오버슈트를 결정할 수 있으며, 정해진 오버슈트는 시스템에 대한 계략적인 추정치로 활용될 수 있다.

Bode의 게인-위상 관계식

　안정한 최소위상 시스템(즉, RHP에 영점이나 극점이 없는 시스템)의 경우, $G(j\omega)$의 위상은 $G(j\omega)$의 크기와 유일하게 관련이 있다. log-log scale에서 $\omega$에 따른 $\vert KG(j\omega) \vert$의 기울기가 한 decade 정도의 주파수에 대해 일정한 값으로 유지되면 그 관계는 특히 간결해서 다음과 같다.

　여기서 $n$은 주파수의 decade당 크기의 decade를 단위로 한 $\vert KG(j\omega) \vert$의 기울기이다. 예를 들어 다음과 같은 그림에 있는 크기곡선만 고려하면, 위상의 근사값인 $-180^{\circ}$와 $-90^{\circ}$를 얻기 위해 기울기의 변화로부터 한 decade 벗어난 두 주파수 $\omega_1=0.1$($n=-2$)과 $\omega_2=10$($n=-1$)에 대해 위 식을 적용할 수 있다는 것을 알 수 있다.

　식 $\angle G(j\omega) \cong n \times 90^{\circ}$는 $\vert KG(j\omega) \vert$만으로 안정도를 언급할 수 있는 지침으로 사용된다. $\vert KG(j\omega) \vert = 1$일 때 다음과 같다.

　안정도를 위해 $\mathrm{PM} > 0$일 때 $\angle G(j\omega) > -180^{\circ}$가 성립되어야 한다. 그러므로 ‘교차주파수’ $\omega_c$(즉, 여기서 $\vert KG(j\omega) \vert = 1$)에서 경사가 $-1$이 되도록 $\vert KG(j\omega) \vert$곡선을 조정한다. 교차주파수의 위아래의 한 decade에서 기울기가 $-1$이면 이때 $\mathrm{PM} \cong 90^{\circ}$이다. 다음 예를 보자.

　주파수응답 크기는 다음과 같이 모든 주파수에 대해 $-2$의 기울기를 가지므로 약간의 수정이 요구된다.

　이를 위해 가장 간단한 보상은 다음과 같은 PD 보상기(Compensator)를 사용하는 것이다.

　게인 $K$를 조절하여 바람직한 대역폭을 얻고 절점 $\omega_1=1/T_D$을 조절하여 교차주파수에서 $-1$의 기울기가 되도록 한다. 교차주파수가 0.2 rad/sec가 되도록 $K$값을 선정하고 교차주파수의 약 $1/4$되는 $\omega_1$값을 선정하여 교차주파수 근처에서 기울기가 $-1$이 되도록 한다.