3장 하중과 응력해석

원통형 압력용기의 압력

　고압으로 유체를 전달하는 실린더형 압력용기, 유압 실린더, 표신, 배관에서는 반지름 및 접선 방향의 응력이 모두 발생하며, 응력값은 해당 요소의 반지름에 따라 다르게 나타난다. 반지름방형 응력 $\sigma_r$과 접선방향 응력$\sigma_t$를 계산하는 경우, 실린더의 축방형 연신량은 원주를 따라 일정하다고 가정한다. 즉, 실린더의 수직단면은 응력을 받은 뒤에도 평면을 유지한다.
　다음과 같이 실린더의 안쪽 반지름을 $r_i$, 바깥쪽 반지름을 $r_o$, 내압을 $p_i$, 외압을 $p_o$라 하면 접선 및 반지름 방형 응력크기는 다음과 같다.

$\sigma_t = \frac{p_ir^2_i - p_or^2_o - r^2_ir^2_o(p_o - p_i)/r^2}{r^2_o - r^2_i}$,　$\sigma_r = \frac{p_ir^2_i - p_or^2_o + r^2_ir^2_o(p_o - p_i)/r^2}{r^2_o - r^2_i}$

　일반적으로 양의 값은 인장, 음의 값은 압축을 나타낸다.

내압만 작용하는 두꺼운 실린더

　$p_o = 0$인 경우, 즉 내압만 작용하는 특별한 경우를 고려하면 다음과 같다.

$\sigma_t = \frac{r^2_ip_i}{r^2_o - r^2_i}(1 + \frac{r^2_o}{r^2})$,　$\sigma_r = \frac{r^2_ip_i}{r^2_o - r^2_i}(1 - \frac{r^2_o}{r^2})$

　다음은 위 식을 이용하여 벽두께에 작용하는 응력 분포를 나타낸 것이다.

　접선방향 및 반지름방향 응력은 내면에서 크기가 최대가 되며, $r=r_i$를 대입하면 다음과 같다.

$(\sigma_t)_{max} = p_i(\frac{r^2_o + r^2_i}{r^2_o - r^2_i})$,　$(\sigma_r)_{max} = -p_i$

　만약 실린더의 끝단이 막혀 있다면 내압은 끝단에 힘을 발생시킨다. 이 힘이 실린더 단면에 대해 균일하게 전달된다고 가정하면 축방향 응력은 다음과 같다.

$\sigma_l = \frac{p_ir^2_i}{r^2_o - r^2_i}$

　위 식들은 끝단이나 응력집중부에서 멀리 떨어진 단면애서만 적용이 가능하다.

내압만 작용하는 얇은 용기(박판용기)

　실린더형 압력용기에서 벽두께가 반지름의 1/10 이하인 경우, 압력용기에 발생하는 반지름방향 응력은 접선방형 응력에 비해 상당히 작다. 이러한 경우에 대한 접선방향 응력(원환응력, 후프응력, hoop stress)은 실린더 두께에 대해 일정하다고 고려할 수 있다. 평균 접선방향 응력은 다음과 같이 표현된다.

$(\sigma_t)_{av} = \frac{\int_{r_i}^{r_o} \sigma_t \, dr}{r_o - r_i} = \frac{\int_{r_i}^{r_o} \frac{r^2_ip_i}{r^2_o - r^2_i} (1 + \frac{r^2_o}{r^2_i}) \, dr}{r_o - r_i} = \frac{p_ir_i}{r_o - r_i} = \frac{p_id_i}{2t}$

　여기서 $d_i$는 안쪽 지름이다. 이 식은 두께와 관계없이 평균 접선방향 응력으로 적용 가능하다. 두께가 얇은 압력용기의 경우, 최대 접선방향 응력은 근사적으로 안쪽 반지름($d_i / 2$)대신 평균 반지름$(d_i + t)/2$을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

$(\sigma_t)_{max} = \frac{p_i(d_i + t)}{2t}$

　만약 얇은 실린더의 끝단이 막혀있다면, 축방향 응력은 다음과 같이 단순화하여 나타낼 수 있다.

$\sigma_l = \frac{p_id_i}{4t}$

　다음 예제를 보자.

회전하는 링의 응력

　플라이휠(flysheels)이나 송풍기(blowers)와 같은 많은 회전요소는 응력을 구하기 위하여 회전링으로 단순화 할 수 있다. 링의 모든 입자 하나하나에 작용하는 관성력이 응력 발생원이라는 점을 제외하면 두꺼운 실린더에 대한 이론과 동일한 접선 미 반지름 방향 응력이 회전링에도 존재하는 것으로 알려져 있다. 이 같은 방식으로 정의된 접선 및 반지름방향 응력은 다음의 제약조건을 따른다.

• 링 또는 디스크의 바깥쪽 반지름은 축방향 두께 $t$아 비교하여 크다($r_o \ge 10t$).
• 링 또는 디스크의 축방향 두께는 일정하다.
• 응력은 축방향 두께를 따라 일정하다. 응력은 다음 식과 같다.
  

$\sigma_t = \rho\omega^2 (\frac{3 + \nu}{8})(r^2_i + r^2_o + \frac{r^2_ir^2_o}{r^2} - \frac{1 + 3\nu}{3 + \nu}r^2)$ $\sigma_r = \rho\omega^2 (\frac{3 + \nu}{8})(r^2_i + r^2_o - \frac{r^2_ir^2_o}{r^2} - r^2)$

　여기서 $r$은 응력요소까지의 반지름, $\rho$는 밀도, $\omega$는 링의 각속도([rad/sec])이다. 회전하는 디스크이 경우 이 식에서 $r_i=0$이다.

억지맞춤 및 수축맞춤

　2개의 실린더형 부품을 서로 억지끼워맞춤으로 조립할 떄, 두 부품 사이에서 접촉압력이 발생한다.

　위 그림은 억지끼워맞춤으로 조립된 2개의 실린더형 부재를 나타낸 것이다. 조립하기 전에 안쪽 부재의 바깥쪽 반지름은 바깥쪽 부재의 안쪽 반지름 보다 반지름방향 간섭량(radial interference) $\delta$만큼 크다.
　조립 후, 간섭접촉압력 $p$가 부재 사이의 공칭 반지름 $R$에서 발생하며 각 부재의 접촉면애서 반지름방향 응력 $\sigma_r = -p$를 야기한다.
　내부 부재에 대해서는 $p_o=p, p_i=0$이고, 외부 부재에 대해서는 $p_o=0, p_i=p$이다. 예를 들어 천이 반지름(transition radius) $R$에서 두 부재의 반지름방향 응력의 크기가 최대이며 내부 부재와 외부 부재에서 다음과 같다.

$(\sigma_t)_i|_{r=R} = -p \frac{R^2 + r^2_i}{R^2 - r^2_i}$,　$(\sigma_t)_o|_{r=R} = p \frac{r^2_o + R^2}{r^2_o - R^2}$

　위 시들의 유도의 기본 가정은 두 부재의 길이가 동일하다이다. 축 위에 허브가 끼워져 있는 경우처럼 길이가 다른 경우에는 위의 식과 함께 응력집중 계수를 적용한다.

곡선 보의 굽힘

　굽은 부재의 응력분포는 다음과 같은 가정을 이용하여 결정할 수 있다.

• 단면은 굽힘 평면상에서 대칭축이 존재한다.
• 평명 단면은 굽힘하중이 작용한 후에도 평면을 유지한다.
• 인장과 압축 상태에 대하여 탄성 계수는 동일하다.

　위 그림은 중립축과 도심축이 일지하지 않음을 보여준다. 곡률중심 $O$에 대한 중립축의 위치는 다음 식으로 주어진다.

$r_n = \frac{A}{\int \frac{dA}{r}}$

　또한 응력 분포는 다음과 같이 표현된다.

$\sigma = \frac{My}{Ae(r_n - y)}$

　위 식으로 표현되는 응력분포는 쌍곡성 형태이며 곧은 보의 경우처럼 선형이 아니다. 임계응력은 $y=c_i, y=-c_o$인 내면과 외면에서 각각 발생하여 그 값은 다음과 같다.

$\sigma_i = \frac{Mc_i}{Aer_i}$,　$\sigma_o = - \frac{Mc_o}{Aer_o}$

　이 식들은 순수 굽힘에 대해서 유효하다. 크레인 갈고리(hook), 프레스의 U 프레임, C 프레임의 프레임과 같은 일반적인 경우에서 굽힘모멘트는 단면에서 어느 정도 떨어진 곳에 작용하는 힘에 의해 발생한다. 그러므로 단면은 굽힘모멘트와 축하중을 전달한다. 축하중은 단면의 도심축에 위치하며 따라서 굽힘모멘트는 이 위치에서 계산될 수 있다. 다음 예제를 보자.

접촉응력

　곡면을 가진 두 물체가 서로 누르고 있을 때, 점 또는 선 접촉은 면 접촉으로 바뀌고 두 물체에서 응력은 3차원이 된다. 접촉응력 문제는 바퀴와 레일의 접촉, 자동차 밸브 캠과 태핏(tappet), 접촉하는 기어 이, 그름 베어링이 운전되는 경우 등에서 발생한다. 전형적인 파손은 균열, 피트(pit), 또는 표면 재료의 박리(flaking) 등으로 나타난다.

구면 접촉

　다음 그림은 지름이 $d_1$과 $d_2$인 2개의 중실 구가 힘 $F$로 서로 누르고 있는 경우를 나타내었다. 2개의 구에 대한 탄성상수를 $E_1, \nu_1$과 $E_2, \nu_2$로 나타내면, 원형 접촉 영역의 반지름 $a$는 다음과 같이 나타날 수 있고 최대 압력은 접촉영역의 중심에서 발생하며 다음과 같다.

　최대응력은 $z$축에서 발생하고, 이 응력은 주응력이 된다. 그 값은 다음과 같다.

　위 식으로 표현되는 응력 상태에 대한 Mohr 원은 한 점과 2개의 동일한 원이다. $\sigma_1 = \sigma_2$이므로, $\tau_{1/2} = 0$이며, 최대전단응력은 다음과 같다.

　다음 그래프는 표면 아래로 $3a$까지의 거리에 대하여 위 식들은 도시한 것이다. 전단응력은 표면 약간 아래 부분에서 최댓값에 도달한다. 이 최대전단응력이 접촉 요소의 표면 피로파손과 관련 있다는 것이 많은 전문가들의 견해이다.

실린더형 접촉

　위 그림은 길이가 $l$이고 지름이 $d_1$과 $d_2$인 2개의 실린더가 접촉하고 있는 것을 나타낸 것이다. (b)에서와 같이 접촉영역은 폭 $2b$, 길이 $l$인 좁은 직사각형이며, 압력 분포는 타원형이다. 폭의 반인 $b$와 최대 압력은 다음 식과 같다.

　위 식들은 실린더에 적용될 수 있으며, $d = \infty$로 설정함으로써 레일과 같은 평면도 적용될 수 있다. 이 식은 실린더와 내부 실린더형 표면의 접촉에도 적용된다. 이때, 내부 평면에 대하여 $d$는 음수가 된다.
　$z$축을 따른 응력 상태는 다음과 같이 주어진다.

　다음 그래프는 위 3개의 식으로 구한 결과를 표면 아래 $3b$의 거리까지 나타내었다.

　$0 \le z \le 0.436b$인 경우, $\sigma_1 = \sigma_x$, $\tau_{max} = (\sigma_1 - \sigma_3) / 2 = (\sigma_x - \sigma_z)/2$이며, $z \ge 0.436b$인 경우에 대하여 $\sigma_1 = \sigma_y$, $\tau_{max} = (\sigma_y - \sigma_z) / 2$이다. $\tau_{max}$에 대한 선도는 위 그래프에 있으며, 최댓값은 $0.300p_{max}$이고 $z/b = 0.768$위치에서 발생한다.